Question

在△ABC中，頂點A，B，C所對三邊分別是a，b，c．已知B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差數列．
（I）求頂點A的軌跡方程；
（II）設直線l過點B且與點A的軌跡相交于不同的兩點M、N如果滿足|+|=|-|，求l的方程．

Answer 1

解：（I）由題知得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．
由橢圓定義知，頂點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓（除去左右頂點），且其長半軸長為2，半焦距為1，
于是短半軸長為．
∴頂點A的軌跡方程為． …（4分）
（II）∵|+|=|-|，
∴|+|²=|-|²，展開得•=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），于是=（x₁-1，y₁），=（x₂-1，y₂），
∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=0，即（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
整理得 x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0． （*）…（6分）
①直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x+1）代入橢圓方程，消去y整理得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
則x₁+x₂=，x₁x₂=．
由（*）式得x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，
即（1+k²）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+k²+1=0，
∴（1+k²）×+（k²-1）×+k²+1=0，
整理得=0，解得k=±．
∴直線l的方程為y=x+，或y=-x-．…（10分）
②當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=-1，M（-1，），N（-1，-），
∴•=（-2，）•（-2，-）=4-3=1≠0，∴不滿足題意．
綜上所述，直線l的方程為y=x+，或y=-x-．…（12分）
分析：（I）根據B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差數列，可得b+c=4，即|AC|+|AB|=4，由橢圓定義知，頂點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓（除去左右頂點），從而可得橢圓的方程；
（II）由|+|=|-|，可得•=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0，分類討論：①直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x+1）代入橢圓方程，整理利用韋達定理，可求k的值，從而可得直線的方程；②當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=-1，M（-1，），N（-1，-），•≠0，從而可得結論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題