Question

已知命題A：函數f（x）=x²-4mx+4m²+2在區間[-1，3]上的最小值等于2，命題B：?x∈R，x+|x-m|＞1；命題C：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²≥1}．
（1）若A，B，C中有且只有一個真命題，試求實數m的取值范圍；
（2）若A，B，C中有且只有一個假命題，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據二次函數取最值的條件，我們可以求出命題A為真命題時，參數m的取值范圍；根據絕對值函數的圖象和性質，我們可以求出命題B為真命題時，參數m的取值范圍；根據集合間的包含關系，我們可以求出命題C為真命題時，參數m的取值范圍；
（1）分別討論若A真B，C假，B真A，C假和C真，A，B假時參數m的取值范圍，綜合討論結果，可得答案；
（2）分別討論若A，C真B假，B，C真A假和A，B真C假時參數m的取值范圍，綜合討論結果，可得答案．

解答：解：若命題A：函數f（x）=x²-4mx+4m²+2在區間[-1，3]上的最小值等于2，為真命題
則-1≤2m≤3
即-

1

2

≤m≤

3

2

…（2分）
若命題B：：?x∈R，x+|x-m|＞1為真命題
則m＞1         …（5分）
若命題C：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²≥1}為真命題
則m＞2m+1或1≤m≤2m+1或m≤2m+1≤-1，即m＜-1或m≥1或m=-1
即m≥1或m≤-1         …（8分）
（1）若A真B，C假，則-

1

2

≤m＜1 …（9分）
若B真A，C假，則m不存在  …（10分）
若C真，A，B假，則m≤-1   …（11分）
實數m的取值范圍是m≤-1 或-

1

2

≤m＜1      …（12分）
（2）若A假B，C真，則m＞

3

2

    …（13分）
若B假A，C真，則m=1；     …（14分）
若C假A，B真，則M不存在；   …（15分）
∴實數m的取值范圍是m＞

3

2

或m=1．…（16分）

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，含絕對值函數的圖象和性質及集合間包含關系，是集合，函數，簡易邏輯的綜合考查，稍有難度．