Question

（2012•湛江二模）對一個定義在R上的函數f（x）有以下四種說法：
①?x∈R，f（1-x）=f（1+x）；
②在區間（-∞，0）上單調遞減；
③對任意x₁＞x₂＞0滿足f（x₁）＞f（x₂）；
④是奇函數．
則以上說法中能同時成立的最多有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：分析①?x∈R，f（1-x）=f（1+x），關于x=1對稱；對于②f（x）在區間（-∞，0）上單調遞減；①②可以在一起；③表示其為增函數，④為奇函數，故③④可以放在一起；

解答：解：①?x∈R，f（1-x）=f（1+x），對稱軸x=

1-x+1+x

2

=1，若其在（-∞，0）上單調遞減，
在（1，+∞）上單調遞減，所以①不能與③④一起成立，
③對任意x₁＞x₂＞0滿足f（x₁）＞f（x₂），f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
④f（x）為奇函數，不能與①一起成立，可以與③一起成立，
∴①②可以一起成立，③④可以一起成立，
故選B．

點評：此題主要考查函數奇偶性的定義及其性質，利用函數的對稱軸和單調性進行判斷，此題是一道好題；