Question

【題目】定義在上的函數滿足，，且當時，，則方程在上所有根的和為______________

Answer 1

【答案】16

【解析】

根據推出周期,根據，,以及當時，,推出的解析式,根據解析式作出一個周期的圖象,再根據周期得到函數在的圖象,根據得到的圖象關于成中心對稱,由圖可知8個交點分成4組 關于成中心對稱,由對稱性可得答案.

因為,而,

所以,即,

所以的圖象關于點成中心對稱,

當時,,

當時,,所以,

當時, ,所以,

當時,,所以,

又由,得,

所以,所以的周期為4,

由此可得函數在內的圖像和函數的圖象,

如圖所示:

因為方程在上所有根的和等于函數與函數的交點的橫坐標之和,

由圖可知,兩個函數共有8個交點,這8個交點的橫坐標之和為4+4+4+4=16.

故答案為:16