Question

二次函數f(x)滿足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

       （1）求f (x)的解析式；

（2）區間[－1，1]上，y＝f (x)的圖象恒在y＝2x＋m的圖象上方，試確定實數m的范圍．

Answer 1

解析： (1)設f（x）＝ax²＋bx＋c，由f（0）＝1得c＝1，  故f（x）＝ax²＋bx＋1．

   ∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)²＋b(x＋1)＋1－(ax²＋bx＋1)＝2x．

  即2ax＋a＋b＝2x，

所以，   ∴f(x)＝x²－x＋1．

(2)由題意得x²－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立．即x²－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．

設g(x)＝ x²－3x＋1－m，其圖象的對稱軸為直線x＝，

所以g(x) 在[－1，1]上遞減．故只需g(1)>0，即1²－3×1＋1－m>0，解得m<－1．