Question

【題目】已知函數（）

（1）討論的單調性；

（2）設，若有兩個極值點，且不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

(1)函數的導函數,分類討論可得：

時， 的增區間為 ，減區間為；

時， 的增區間為；

時， 的增區間為 ，減區間為；

時， 的增區間為上單增，減區間為.

(2)對函數求導，由根與系數的 關系： ，據此有： ，分離系數： ，構造新函數，利用恒成立的條件可得.

試題解析：

解：（1），

令，得， ，

當，即時，在 上， ，在上，此時， 的增區間為 ，減區間為；

當，即時，在上，此時， 的增區間為；

當，即時，在 上，在上，此時， 的增區間為 ，減區間為；

當，即時，在上，在 ，此時， 的增區間為上單增，減區間為.

（2），

有兩個極值點，

是方程的兩個不相等實根，

∴，且，

由，得

整理得 ，

將代入得 ，

因為，所以

于是對恒成立，

令，則，

所以 ， 在單減，

所以 ,

因此 .