Question

設a為實數，函數f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.

(1)求f(x)的單調區間及極值；

(2)求證：當a>ln2－1且x >0時，ex >x2－2ax＋1

 

Answer 1

(1) (2)見解析

【解析】

試題分析：(1)首先求出的導數，解方程，進一步得到不等式與的解集，從而得到函數的單調區間和極值.

(2)欲證當a>ln2－1且x >0時，ex >x2－2ax＋1，

令

則只需證當時，

從而轉化為利用導數求的最小值問題.

試題解析：【解析】
（1）由知

令得于是當變化時，的變化情況如下表：

	－	0	+
	單調遞減		單調遞增

 

故的單調遞減區間是，間調遞增區間是

在處取得極小值，極小值為 6分

（2）設，于是

由（1）知，當時，

最小值為

于是對任意的，都有，所以在內單調遞增.

于是當時，對任意

都有

而，從而對任意，

即：故， 14分

考點：1、導數在研究函數性質中的應用；2、等價轉論的思想.