Question

（本小題滿分12分）
已知函數，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩定點”。記集合
（1）已知，若是在上單調遞增函數，是否有？若是，請證明。
（2）記表示集合中元素的個數，問：
若函數，若,則是否等于0？若是，請證明
若，試問：是否一定等于1？若是，請證明

Answer 1

(1) (2),是不一定等于1。

試題分析：（1）證明：先證 任取，則

再證 任取
若，不妨設
由單調遞增可知： 與 矛盾
同理也矛盾，所以

綜上：
（2）①若 由于無實根 則對任意實數x，
從而 故無實根
同理若對任意實數x， ，從而 
故也無實根

②不妨設是B中唯一元素 則
令 那么 而
故 說明t也是的不動點
由于 只有唯一的不動點  故 即
這說明t也是的不動點，從而存在性得證
以下證明唯一性：若還有另外一個不動點m，即
則 這說明還有另外一個穩定點m
與題設矛盾。
點評：結合新定義，和已學的函數單調性的性質，來分析函數的最值， 同時對于不動點的問題，要加以轉化為方程根的問題來處理，屬于中檔題。