【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，已知橢圓
：
的離心率為
，點
分別為橢圓與坐標軸的交點，且
.過
軸上定點
的直線與橢圓交于
，
兩點，點
為線段
的中點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求
面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由題設知橢圓的離心率和
的關系，結合
，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；
（2）分直線MN的斜率為0和不為0兩種情況討論，設直線MN的方程與橢圓的方程聯立，結合根與系數的關系，求得點Q的坐標，得出點Q到AB的距離，求得面積的表達式，利用基本不等式，即可求解．
（1）由題意，橢圓
的離心率為
，所以
，
其中
，
，
由
，得
.
又由，得
，
，
，
所以橢圓的標準方程為.
（2）直線
的方程為
，
①當直線
的斜率
時，直線過點
交橢圓于左右頂點，則中點為坐標原點
，此時
，
②當直線的斜率
時，設直線的方程為
，
聯立方程組
，得
，∴點
為
，
∴點到直線的距離
為
，
∵點在直線的下方，即
，
∴
，
∴
，
設
，令
，則
，
當
時，
，
當
時，
，
當且僅當
，即
時等號成立，此時
，
當
時，
，此時
，
綜上所述，
的最大值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知實數a滿足1＜a≤2，設函數f (x)＝
x3－
x2＋ax．
(Ⅰ) 當a＝2時，求f (x)的極小值；
(Ⅱ) 若函數g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同，
求證：g(x)的極大值小于等于10．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，給出下列四個結論：
① 函數
的最小正周期是
；
② 函數在區間
上是減函數；
③ 函數的圖像關于點
對稱；
④ 函數的圖像可由函數
的圖像向右平移
個單位，再向下平移1個單位得到.其中正確結論的個數是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在研究吸煙與患肺癌的關系中，通過收集數據、整理分析數據得“吸煙與患肺癌有關”的結論，并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結論是成立的，下列說法中正確的是（ ）
A.100個吸煙者中至少有99人患有肺癌
B.1個人吸煙，那么這個人有99%的概率患有肺癌
C.在100個吸煙者中一定有患肺癌的人
D.在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知方程
表示的曲線為
的圖象，對于函數有如下結論：①
在
上單調遞減；②函數
至少存在一個零點；③
的最大值為
；④若函數
和圖象關于原點對稱，則
由方程
所確定；則正確命題序號為( )
A.①③B.②③C.①④D.②④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，AB＝
，BC＝1，E，F分別是AB，PC的中點，DE⊥PA.
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PDE.
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