Question

（2012•河南模擬）設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，上頂點為A，過點A與AF₂垂直的直線交z軸負半軸于點Q，且2

F1F2

+

F2Q

=0，過A，Q，F₂三點的圓的半徑為2．過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于G，H兩點（點G在點M，H之間）．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l的斜率k＞0，在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形．如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）因為2

F1F2

+

F2Q

=0，知a，c的一個方程，再利用△AQF的外接圓與直線l相切得出另一個方程，解這兩個方程組成的方程組即可求得所求橢圓方程；
（II）設l的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數的關系利用向量的坐標表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（I）因為2

F1F2

+

F2Q

=0，所以F₁為F₂Q中點．
設Q的坐標為（-3c，0），
因為AQ⊥AF₂，所以b²=3c×c=3c²，a²=4c×c=4c²，
且過A，Q，F₂三點的圓的圓心為F₁（-c，0），半徑為2c
因為該圓與直線l相切，所以

|-c-3|

2

=2c，解得c=1，
所以a=2，b=

3

，所以所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）設l的方程為y=kx+2（k＞0），與橢圓方程聯立，消去y可得（3+4k²）x²+16kx+4=0．
設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則x₁+x2=-

16k

3+4k2

∴

PG

+

PH

=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）．
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4）
又

GH

=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，k（x₂-x₁））．
由于菱形對角線互相垂直，則（

PG

+

PH

）•

GH

=0，
所以（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0．
故（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k]=0．
因為k＞0，所以x₂-x₁≠0．
所以（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k=0，即（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0．
所以（1+k²）（-

16k

3+4k2

）+4k-2m=0．
解得m=-

2k

3+4k2

，即m=-

2

3 k +4k

因為k＞

1

2

，可以使

3

k

=4k，所以-

3

6

≤m＜0
故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是[-

3

6

，0）．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查基本不等式的運用，解題時應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，屬于中檔題．