Question

某書商為提高某套叢書的銷量，準備舉辦一場展銷會．據市場調查，當每套叢書售價定為x元時，銷售量可達到15—0.1x萬套．現出版社為配合該書商的活動，決定進行價格改革，將每套叢書的供貨價格分成固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數為10.假設不計其他成本，即銷售每套叢書的利潤＝售價－供貨價格．問：
(1)每套叢書售價定為100元時，書商能獲得的總利潤是多少萬元？
(2)每套叢書售價定為多少元時，單套叢書的利潤最大？

Answer 1

（1）340(萬元)
（2）每套叢書售價定為140元時，單套叢書的利潤最大，最大值為100元

解：(1)每套叢書售價定為100元時，銷售量為15－0.1×100＝5(萬套)，此時每套供貨價格為30＋＝32(元)，書商所獲得的總利潤為5×(100－32)＝340(萬元)．
(2)每套叢書售價定為x元時，由
解得0<x<150.
依題意，單套叢書利潤
P＝x－(30＋)＝x－－30，
∴P＝－[(150－x)＋]＋120.
∵0<x<150，∴150－x>0，
由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，
當且僅當150－x＝，即x＝140時等號成立，此時，P_max＝－20＋120＝100.
∴當每套叢書售價定為100元時，書商獲得總利潤為340萬元，每套叢書售價定為140元時，單套叢書的利潤最大，最大值為100元．