Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數為偶函數，求實數的值；

（2）若，，且函數在上是單調函數，求實數的值；

（3）若，若當時，總有，使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）直接利用偶函數的定義解得m；

（2）由最高點的坐標，求得，再利用單調性得，求得的值．

（3）設函數的值域為，的值域為，由題意和子集的定義，得，得到不等式恒成立，兩邊分別分離參數m，得到m的范圍.

解：（1）設，則

由于是偶函數，所以對任意，成立．

即 恒成立．

即 恒成立，

所以 ，解得 ．

所以所求實數的值是 ．

（2）由，

得，即

當時， ，

因為在區間的單調遞增，所以，再由題設得

所以．

（3）設函數在上的值域為，在上的值域為，

由題意和子集的定義，得．

當時，，．

所以當時，不等式恒成立，

由恒成立，得，

由恒成立，得，

綜上，實數的取值范圍為 ．