Question

【題目】設函數，，，其中是的導函數.

（1）若恒成立，求實數的取值范圍；

（2）設，比較與的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ，理由見解析.

【解析】

（1）不等式恒成立等價于恒成立，再構造函數，利用導數求最值即可得解.

（2）利用分析法可得要比較與的大小，則只需比較與的大小，再結合（1）可得，再不等式左右兩邊分別取值累加求和即可.

解：（1）由題意有，

由已知恒成立，即恒成立.

設，則，

當時，僅當，時等號成立，

在上單調遞減，又，在上恒成立，

時，恒成立（僅當時等號成立）.

當時，對有，

在上單調遞增，

，

即時，存在，使，故知不恒成立.

綜上可知，的取值范圍是.

（2）由題設知，，

要比較與的大小，

則只需比較與的大小.

在（1）中取，可得，.

令，，則.

由累加法可得，

即 .