Question

我們規定：對于任意實數A，若存在數列{a_n}和實數x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…anxn-1，則稱數A可以表示成x進制形式，簡記為A=

.

x～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

．如：A=

.

2～(-1)(3)(-2)(1)

，則表示A是一個2進制形式的數，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（I）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），試將m表示成x進制的簡記形式；
（II）記bn=

.

2～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

(n∈N*)，若{a_n}是等差數列，且滿足a₁+a₂=3，a₃+a₄=7，求b_n=9217時n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³，能將m表示成x進制的簡記形式．
（Ⅱ）由{a_n}是等差數列，即已知條件利用通項公式即可得出a_n，利用“錯位相減法”即可得出b_n，進而解出n．

解答：解：（I）由m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³=

.

x～(1)(-2)(3)(-6)

．
（Ⅱ）∵{a_n}是等差數列，設公差為d，又a₁+a₂=3，a₃+a₄=7，
∴

a1+a1+d=3 2a1+5d=7

，解得

a1=1 d=1

，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
bn=1+2×21+3×22+…+n×2^n-1，
2bn=1×2+2×22+3×23+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
兩式相減得-b_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ
∴-bn=

2n-1

2-1

-n×2n，
∴bn=(n-1)×2n+1．
又b_n=9217，∴（n-1）×2ⁿ+1=9217，解得n=10．

點評：本題考查數列的遞推公式即新定義，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設的隱含條件，合理地進行等價轉化．數列掌握等差數列和等比數列的通項公式和前n項和公式及其“錯位相減法”是解題的關鍵．