Question

（2013•杭州一模）已知拋物線C：y²=2px（p＞0）和⊙M：x²+y²+8x-12=0，過拋物線C上一點P（x₀，y₀）（y₀≥0）作兩條直線與⊙M相切與A、B兩點，圓心M到拋物線準線的距離為

9

2

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）當P點坐標為（2，2）時，求直線AB的方程；
（Ⅲ）設切線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，且k₁•k₂₌

1

2

，求點P（x₀，y₀）的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用拋物線的定義即可得出；
（Ⅱ）利用兩圓的根軸即可得出；
（Ⅲ）利用直線與圓相切的充要條件、點到直線的距離公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由⊙M：x²+y²-8x+12=0，配方得（x-4）²+y²=4，∴圓心M（4，0），半徑r=2．
由題意知：4+

p

2

=

9

2

，解得p=1，
∴拋物線C的方程為y²=2x．     
（Ⅱ）設P（2，2），∵P，A，B，M四點共圓，∴此圓的方程為：（x-4）（x-2）+（y-2）（y-0）=0，①
又⊙M：x²-8x+y²+12=0，②
又由①-②得直線AB的方程：x-y-2=0．                        
（Ⅲ）設過P的直線l方程為y-y₀=k（x-x₀），由于⊙M與直線l相切，得到

|4k+y0-kx0|

1+k2

=2，
整理得到：(

x

2 0

-8x0+12)k2+[2y0(4-x0)]k+

y

2 0

-4=0，
∴k1•k2=

y 2 0 -4

x 2 0 -8x0+12

=

1

2

，即

x

2 0

-12x0+20=0，∴x₀=2或10，
經檢驗得點P坐標為(10，2

5

)．

點評：熟練掌握拋物線的定義、兩圓的根軸的性質、直線與圓相切的充要條件、點到直線的距離公式是解題的關鍵．