Question

已知正方形ABCD的邊長為1，沿對角線AC把△ACD折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為

π

4

．

Answer 1

分析：先作出直線BD與面ABC所成角，計算三棱錐的體積，求出其最大值，可得△BOD是等腰Rt△，從而可得結論．

解答：解：如圖所示，O為正方形ABCD的中心，
∵BO⊥AC，DO⊥AC，
∴AC⊥面BOD，
∵AC?面ABC，∴面BOD⊥面ABC
∴BD在面ABC的射影是BO，∠BDO=φ是直線BD與面ABC所成角．
設∠BOD=θ（0°＜θ＜180°），正方形ABCD的邊長為1，則BO=DO=

2

2

∴△BOD的面積=

1

2

BO×DO×sinθ=

1

4

sinθ．
∴三棱錐體積=

1

3

S_△BOD×AC=

2

12

sinθ≤

2

12

，
∴θ=90°時，三棱錐體積最大，此時△BOD是等腰Rt△，
∴φ=45°，即當A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時候，直線BD與面ABC所成角為45°．
故答案為

π

4

．

點評：本題考查平面圖形的翻折，考查三棱錐體積的計算，考查線面角，考查學生的計算能力，屬于中檔題．