Question

設f（x）是R上的奇函數，且f（-1）=0，當x＞0時，（x²+1）f′（x）-2xf（x）＜0，則不等式f（x）＞0的解集為

 

．

Answer 1

分析：首先根據商函數求導法則，把 （x²+1）f'（x）-2xf（x）＜0，化為[

f(x)

x2+1

]′＜0；然后利用導函數的正負性，可判斷函數y=

f(x)

x2+1

在（0，+∞）內單調遞減；再由f（-1）=0，易得f（x）在（0，+∞）內的正負性；最后結合奇函數的圖象特征，可得f（x）在（-∞，0）內的正負性．則f（x）＞0的解集即可求得．

解答：解：因為當x＞0時，有 （x²+1）f'（x）-2xf（x）＜0恒成立，即[

f(x)

x2+1

]′＜0恒成立，
所以y=

f(x)

x2+1

在（0，+∞）內單調遞減．
因為f（-1）=0，
所以在（0，1）內恒有f（x）＞0；在（1，+∞）內恒有f（x）＜0．
又因為f（x）是定義在R上的奇函數，
所以在（-∞，-1）內恒有f（x）＞0；在（-1，0）內恒有f（x）＜0．
即不等式f（x）＞0的解集為：（-∞，-1）∪（0，1）．
故答案為：（-∞，-1）∪（0，1）．

點評：本題主要考查函數求導法則及函數單調性與導數的關系，同時考查了奇偶函數的圖象特征，熟練掌握導數的運算法則是解題的關鍵，考查運算能力，屬中檔題．