Question

（本小題滿分14分）

已知函數

(Ⅰ)若時，函數在其定義域上是增函數，求b的取值范圍；

    (Ⅱ)在（Ⅰ）的結論下，設函數的最小值；

    (Ⅲ)設函數的圖象C₁與函數的圖象C₂交于P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意：

∵上是增函數，

∴  對任意恒成立，         ……………………2分

∴∵ ∴b的取值范圍為……………4分

（Ⅱ）設，即 …5分

∴當上為增函數，當t=1時，…6分

當…………7分

當上為減函數，當t=2時，…………8分

綜上所述，

…………9分

（Ⅲ）設點P、Q的坐標是則點M、N的橫坐標為

C₁在M處的切線斜率為  C_­2­在點N處的切線斜率

假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則

即

則

 ，…………12分

設…………………………①

令則

∵      ∴     

所以上單調遞增，故 ，  則

這與①矛盾，假設不成立,故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.……14分