Question

如圖，正方體中，已知為棱上的動點.

（1）求證：；
（2）當為棱的中點時，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

(1)詳見解析；(2)直線與平面所成角的正弦是.

試題分析：(1)空間中證線線垂直，一般先證線面垂直.那么在本題中證哪條線垂直哪個面？從圖形可看出，可證面. (2)思路一、為了求直線與平面所成角的正弦值，首先作出直線在平面內的射影. 連設,連，可證得面,這樣便是直線與平面所成角.思路二、由于兩兩垂直，故可分別以為軸正向,建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解.
試題解析：連設,連.
(1)由面,知,
又, 故面.
再由面便得⊥.

(2)在正中,,而,
又面,平面,且,
故⊥面,于是,為二面角的平面角.
正方體ABCD—中,設棱長為,且為棱的中點,由平面幾何知識易得,滿足,故.
再由知面,故是直線與平面所成角.
又,故直線與平面所成角的正弦是.
解二.分別以為軸正向,建立空間直角坐標系.設正方體棱長為.
(1)易得.
設,則, ,從而
,于是
(2)由題設,,則,.
設是平面的一個法向量,則,即

于是可取,.易得,故若記與的夾角為,則有,故直線與平面所成角的正弦是.