Question

如圖，F(xiàn)是定直線(xiàn)l外的一個(gè)定點(diǎn)，C是l上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：若以C為圓心，CF為半徑的圓與l相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作l的垂線(xiàn)與圓C過(guò)F的切線(xiàn)相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則必在以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的同一條拋物線(xiàn)上．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出該拋物線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）對(duì)以上結(jié)論的反向思考可以得到另一個(gè)命題：“若過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn)，則以PQ為直徑的圓一定與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l相切”請(qǐng)問(wèn)：此命題是正確？試證明你的判斷；
（Ⅲ）請(qǐng)選擇橢圓或雙曲線(xiàn)之一類(lèi)比（Ⅱ）寫(xiě)出相應(yīng)的命題并證明其真假．（只選擇一種曲線(xiàn)解答即可，若兩種都選，則以第一選擇為平分依據(jù)）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由切線(xiàn)長(zhǎng)相等可想過(guò)F作l的垂線(xiàn)交l于K，以KF的中點(diǎn)為原點(diǎn)，KF所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線(xiàn)為以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，由拋物線(xiàn)的定義可得拋物線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）設(shè)出PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，再分別設(shè)出P、Q、M在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)l上的射影分別為A、B、D，因?yàn)镻Q是拋物線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)F的弦，由梯形中位線(xiàn)知識(shí)結(jié)合拋物線(xiàn)的定義可得以PQ為直徑的圓一定與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l相切；
（Ⅲ）選擇橢圓類(lèi)比（Ⅱ）所寫(xiě)出的命題為：
“過(guò)橢圓一焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，則以PQ為直徑的圓與橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)l相離”．
證明時(shí)由梯形中位線(xiàn)知識(shí)結(jié)合橢圓第二定義列式得到|MD|=
從而問(wèn)題得到證明，同樣選擇雙曲線(xiàn)進(jìn)行類(lèi)比．
解答：解：（Ⅰ）過(guò)F作l的垂線(xiàn)交l于K，以KF的中點(diǎn)為原點(diǎn)，KF所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖1，
并設(shè)|KF|=p，則可得該拋物線(xiàn)的方程為 y²=2px（p＞0）；
（Ⅱ）該命題為真命題，證明如下：
如圖2，設(shè)PQ中點(diǎn)為M，P、Q、M在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)l上的射影分別為A、B、D，
∵PQ是拋物線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)F的弦，
∴|PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB的中位線(xiàn)，
∴|MD=．
∵M(jìn)是以PQ為直徑的圓的圓心，
∴圓M與l相切．
（Ⅲ）選擇橢圓類(lèi)比（Ⅱ）所寫(xiě)出的命題為：
“過(guò)橢圓一焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，則以PQ為直徑的圓與橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)l相離”．
此命題為真命題，證明如下：
證明：設(shè)PQ中點(diǎn)為M，橢圓的離心率為e，
則0＜e＜1，P、Q、M在相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)l上的射影分別為A、B、D，
∵，∴，同理得．
∵M(jìn)D是梯形APQB的中位線(xiàn)，
∴|MD|=，
∴圓M與準(zhǔn)線(xiàn)l相離．
選擇雙曲線(xiàn)類(lèi)比（Ⅱ）所寫(xiě)出的命題為：
“過(guò)雙曲線(xiàn)一焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于P、Q兩點(diǎn)，則以PQ為直徑的圓與雙曲線(xiàn)相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)l相交”．
此命題為真命題，證明如下：
證明：設(shè)PQ中點(diǎn)為M，橢圓的離心率為e，
則e＞1，P、Q、M在相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)l上的射影分別為A、B、D，
∵，∴，同理得．
∵M(jìn)D是梯形APQB的中位線(xiàn)，
∴|MD|=，
∴圓M與準(zhǔn)線(xiàn)l相交．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，綜合考查了學(xué)生的類(lèi)比推理能力和計(jì)算能力，是有一定難度題目．