Question

【題目】已知二次函數(shù)滿足，且的最小值是.

（1）求的解析式；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）函數(shù)，對(duì)任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） (2) （3）

【解析】試題分析：（1）因，故對(duì)稱軸為，故可設(shè)，再由得.（2）有唯一實(shí)數(shù)根可以轉(zhuǎn)化為與有唯一的交點(diǎn)去考慮.（3），任意都有不等式成立等價(jià)于，分、、和四種情形討論即可.

解析：（1）因，對(duì)稱軸為，設(shè)，由得，所以.

（2）由方程得，即直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)在的圖象.易得當(dāng)或時(shí)函數(shù)圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍是.

（3）由題意知.

假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，對(duì)任意都有成立，即，故有，由.

當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù)， ，所以；

當(dāng)時(shí)， ， .即，解得，所以.

當(dāng)時(shí)，

即解得.所以.

當(dāng)時(shí)， ，即，所以，綜上所述， ，

所以當(dāng)時(shí)，使得對(duì)任意都有成立.