Question

已知函數f(x)=

lg(x2-2x)

9-x2

的定義域為A，
（1）求A；
（2）若B={x|x²-2x+1-k²≥0}，且A是B的真子集，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數成立的條件求函數的定義域即可求A；
（2）利用A是B的真子集，建立條件關系即可求實數k的取值范圍．

解答：解：（1）由

x2-2x＞0 9-x2＞0

，----------------------------------------------------------（2分）
解得-3＜x＜0或2＜x＜3，
∴A=（-3，0）∪（2，3）---------------（4分）
（2）法一：B中[x-（1-k）][x-（1+k）]≥0--------------------------------------（6分）

若1-k=1+k，即k=0時，此時B=R，符合題意；----------------------（8分）
若1-k＜1+k，即k＞0時，此時B=（-∞，1-k]∪[1+k，+∞），
由A是B的真子集得

1+k≤2 1-k≥0 k＞0

⇒0＜k≤1，-----------------------------------（10分）
若1-k＞1+k，即k＜0時，此時B=（-∞，1+k]∪[1-k，+∞），
由A是B的真子集得

1-k≤2 1+k≥0 k＜0

⇒-1≤k＜0，-------------------------------（12分）
綜上得k∈[-1，1]------------------------------------------------------------------（14分）
法二：∵x∈A時總有x∈B，
∴x∈（-3，0）∪（2，3）時總有k²≤（x-1）²----（8分）
∴k²≤1，k∈[-1，1]；----------------------------------------------------------------（12分）
此時，顯然有-4∈B但-4∉A，
∴A是B的真子集，綜上得k∈[-1，1]--（14分）

點評：本題主要考查函數定義域的求法以及集合關系的應用，要注意對集合B要進行分類討論．