Question

【題目】已知函數f（x）=sin2x+2 sin2x+1﹣ ．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）當x∈[ ， ]時，若f（x）≥log2t恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=sin2x﹣ cos2x+1=2sin（2x﹣ ）+1，

∵ω=2，

∴函數f（x）最小正周期是T=π；

當2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2π+ ，k∈Z，

即kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

函數f（x）單調遞增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：∵x∈[ ， ]，

∴2x﹣ ∈[0， ]，

∴f（x）=2sin（2x﹣ ）+1的最小值為1，

由f（x）≥log2t恒成立，得log2t≤1=log22恒成立，

∴0＜t≤2，

即t的取值范圍為（0，2]

【解析】（1）函數解析式利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數f（x）的最小正周期，根據正弦函數的單調性即可確定出f（x）的單調遞增區間；（2）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的值域確定出f（x）的最小值，根據f（x）≥log2t恒成立，得到log2t小于等于f（x）的最小值，即可確定出t的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關知識，掌握兩角和與差的正弦公式：，以及對正弦函數的單調性的理解，了解正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數．