Question

已知函數f（x）=x³-ax²+bx+c．
（Ⅰ）若函數y=f（x）的圖象上存在點P，使P點處的切線與x軸平行，求實數a，b的關系式；
（Ⅱ）若函數f（x）在x=-1和x=3時取得極值，且其圖象與x軸有且只有3個交點，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函數f（x）=x³-ax²+bx+c．函數y=f（x）的圖象上存在點P，使P點處的切線與x軸平行，f'（x）=3x²-2ax+b，即該方程有根．△=4a²-12b≥0，則易得a，b的關系式；
（Ⅱ）若函數f（x）在x=-1和x=3時取得極值，由已知可得x=-1和x=3是方程f'（x）=3x²-2ax+b=0的兩根，可以求得a，b，再根據圖象與x軸有且只有3個交點，等價于極大值大于0且極小值小于0，則易求c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax+b，設切點為P（x₀，y₀），
則曲線y=f（x）在點P處的切線的斜率k=f'（x₀）=3x₀²-2ax₀+b，
由題意，知f'（x₀）=3x₀²-2ax₀+b=0有解，
∴△=4a²-12b≥0即a²≥3b．
（Ⅱ）由已知可得x=-1和x=3是方程f'（x）=3x²-2ax+b=0的兩根，
∴-1+3=

2a

3

，-1×3=

b

3

，
∴a=3，b=-9．（7分）
∴f'（x）=3（x+1）（x-3），
∴f（x）在x=-1處取得極大值，在x=3處取得極小值．
∵函數y=f（x）的圖象與x軸有且只有3個交點，∴

f(-1)＞0 f(3)＜0.

又f（x）=x³-3x²-9x+c，∴

-1-3+9+c＞0 27-27-27+c＜0

，
解得-5＜c＜27．

點評：要明確導數的幾何意義，認真讀題，了解其題意并結合函數圖象列出符合條件的不等式組，例如，若函數f（x）在x=-1和x=3時取得極值，且圖象與x軸有且只有3個交點，等價于極大值大于0且極小值小于0，這點要結合函數圖象去理解．