Question

已知點M在橢圓上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F．
（1）若圓M與y軸相切，求橢圓的離心率；
（2）若圓M與y軸相交于A，B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，應(yīng)該先設(shè)出點M的坐標(biāo)及圓的半徑，利用題中的條件建立方程求解即可；
（2）由題意利用所給的條件信息及（1）中的圓的半徑與a，b的關(guān)系和離心率進而求解出橢圓的方程．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y），圓M的半徑為r．
因為橢圓的右焦點的坐標(biāo)為（c，0），圓M與x軸相切于點F，
所以MF⊥x軸，所以x=c，r=|y|①
因為點M在橢圓上，所以
將上式代入上式得，
因為a²-c²=b²所以即：②
又因為圓M與y軸相切，所以M到y(tǒng)軸的距離等于半徑r，即：r=|x|③
由①，②，③得即：b²=ac從而得c²+ac-a²=0
兩邊同除以a²，得：（，，e²+e-1=0
解得：因為e∈（0，1）
            故：．
（2）因為△ABM是邊長為2的正三角形，所以圓M的半徑r=2，
M到圓y軸的距離又由（1）知：，d=c
所以，，又因為a²-b²=c²
從而有a²-2a-3=0解得：a=3或a=-1（舍去）b²=2a=6
所求橢圓方程是：
點評：（1）此問重點考查了利用方程的思想先設(shè)出變量在利用條件進行建立方程求解，還考查了橢圓的基本性質(zhì)和學(xué)生的運算能力；
（2）此問重點考查了利用所給信息先簡化變量，還考查了一元二次方程的求解方法．