Question

△ABC的三個內角A、B、C的對邊的長分別為a、b、c，有下列兩個條件：（1）a、b、c成等差數列；（2）a、b、c成等比數列，現給出三個結論：
（1）0＜B≤

π

3

；
（2）acos2

C

2

+ccos2

A

2

=

3b

2

；
（3）1＜

1+sin2B

cosB+sinB

≤

2

．
請你選取給定的兩個條件中的一個條件為條件，三個結論中的兩個為結論，組建一個你認為正確的命題，并證明之．
（I）組建的命題為：已知

 

求證：①

 

②

 

（II）證明：

Answer 1

分析：（1）利用a、b、c成等差數列可推斷出2b=a+c，代入關于B的余弦定理中利用基本不等式求得cosB的范圍，進而求得B的范圍，原式得證．
（2）利用二倍角公式和余弦定理對原式進行化簡整理求得等式成立，原式得證．

解答：解：（I）可以組建命題：△ABC中，若a、b、c成等差數列，求證：①0＜B≤

π

3

②acos2

C

2

+ccos2

A

2

=

3b

2

；
（II）①∵a、b、c成等差數列∴2b=a+c，
∴b=

a+c

2

cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

且B∈（0，π），∴0＜B≤

π

3

②acos2

C

2

+ccos2

A

2

=a

1+cosC

2

+c

1+cosA

2

=

a+c

2

+

acosC+ccosA

2

=

a+c

2

+

b

2

=

3b

2

故答案為：a、b、c成等差數列，0＜B≤

π

3

，acos2

C

2

+ccos2

A

2

=

3b

2

．

點評：本題主要考查了數列與三角函數的綜合，余弦定理的應用，二倍角的化簡求值．考查了學生對基礎知識的理解和靈活運用．