Question

若f（x）和g（x）都是定義在實數集R上的函數，且方程x-f[g（x）]=0有實數解，則g[f（x）]不可能是（　　）

• A、x2+x-

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• B、x2+x+

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  5

• C、x2-

  1

  5

• D、x2+

  1

  5

Answer 1

分析：這樣思考：要使方程x-f[g（x）]=0有實數解則x=f[g（x）]，將函數反解出來g（x）=F*（x），F*（x）為f（x）的某一逆函數則總能找出其對應的象來，即也有實數解；令y=f（x）即問題轉化為g（y）=x有實數解的問題，把y代入化簡A B C選項，因為x²+x+

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=x的解為虛數；只有B沒有可能，即可得答案．

解答：解：∵x-f[g（x）]=0得f[g（x）]=x，
所以g[f（g（x））]=g（x），
得g[f（x）]=x，
所以f[g（x）]=x與g[f（x）]=x是等價的，
即f[g（x）]=x有解g[f（x）]=x也有解，也就是說有解的都是可能的
題目要我們選不可能的，所以只能選無解的那個B．
故選B．

點評：本題是抽象函數的問題，抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質，這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵．在這里說明一點，上述這種判斷只是能用可能來判斷，因為求逆函數只對奇函數有效．