Question

【題目】在底面是正方形的四棱錐中, , ,點在上,且.

（Ⅰ）求證: 平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）易證， ，從而可證平面；

（Ⅱ）以A為坐標原點，直線分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，求得平面ACE的法向量為，及平面ACD的法向量，由法向量夾角公式求解即可.

試題解析：

(1)正方形ABCD邊長為1,PA=1, ，

所以，即，

根據直線和平面垂直的判定定理，有平面.

(2)如圖，以A為坐標原點，直線分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系.

則，

由(1)知為平面ACD的法向量, ，

設平面ACE的法向量為，

則

令,則,

設二面角的平面角為,則=，

又有圖可知， 為銳角，

故所求二面角的余弦值為.