Question

（2013•臨沂二模）如圖，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O為CD的中點，沿AO將三角形AOD折起，使DB=

3

．
（Ⅰ）求證：平面AOD⊥平面ABCO；
（Ⅱ）求直線BC與平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要證明面面垂直，常用其判定定理來證明，即在其中一個平面內找到一條直線與另一平面垂直；
（2）空間中求線面角，常用空間向量來解決，即建立空間直角坐標系后，求直線的方向向量與平面的法向量，再求其夾角的余弦即是所求．

解答：（Ⅰ）證明：∵在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O為CD中點，
∴△AOD，△BOC為等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，即OB⊥OA．…（1分）
取AO中點H，連結DH，BH，則OH=DH=

2

2

，
在Rt△BOH中，BH²=BO²+OH²=

5

2

，
在△BHD中，DH²+BH²=(

2

2

)2+

5

2

=3，又DB²=3，
∴DH²+BH²=DB²，∴DH⊥BH．…（2分）
又DH⊥OA，OA∩BH=H …（3分）
∴DH⊥面ABCO，…（4分）
而DH∈平面AOD，…（5分）
∴平面AOD⊥平面ABCO．…（6分）
（Ⅱ）解：分別以直線OA，OB為x軸和y軸，O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則B(0，

2

，0)，A(

2

，0，0)，D(

2

2

，0，

2

2

)，C(-

2

2

，

2

2

，0)．
∴

AB

=(-

2

，

2

，0)，

AD

=(-

2

2

，0，

2

2

)，

BC

=(-

2

2

，-

2

2

，0)．…（7分）
設平面ABD的一個法向量為n=（x，y，z），
由

n• AB =0 n• AD =0

得

- 2 x+ 2 y=0 - 2 2 x+ 2 2 z=0

即x=y，x=z，令x=1，則y=z-1，
取n=（1，1，1）．…（9分）
設α為直線BC與平面ABD所成的角，
則sinα=

| BC •n|

| BC |•|n|

=

2

3

=

6

3

．…（11分）
即直線BC與平面ABD所成角的正弦值為

6

3

．…（12分）

點評：本題考查的內容是立體幾何，主要考查面面垂直的證明以及求線面角中的向量方法，屬于中檔題．