Question

已知點F₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F₁垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABF₂為銳角三角形，則雙曲線的離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先求出A，B兩點的縱坐標，由△ABF₂是銳角三角形知，tan∠AF₂F₁=

b2 a

2c

＜1，e²-2e-1＜0，解不等式求出e 的范圍．

解答：解：在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)中，
令x=-c 得，y=±

b2

a

，∴A，B兩點的縱坐標分別為±

b2

a

．
由△ABF₂是銳角三角形知，∠AF₂F₁＜

π

4

，tan∠AF₂F₁=

b2 a

2c

＜tan

π

4

=1，
∴

c2-a2

2ac

＜1，c²-2ac-a²＜0，e²-2e-1＜0，∴1-

2

＜e＜1+

2

．
又 e＞1，∴1＜e＜1+

2

，
故答案為：（1，1+

2

）．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，判斷∠AF₂F₁＜

π

4

，tan

π

4

=

b2 a

2c

＜1，是解題的關鍵．