Question

選修4-4：坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點是直角坐標系的原點，極軸與直角坐標系中x軸的正半軸重合．曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ-2sinθ，曲線l的極坐標方程是ρ（cosθ-2sinθ）=2．
（Ⅰ）求曲線C和l的直角坐標方程并畫出草圖；
（Ⅱ）設曲線C和l相交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，把曲線的極坐標方程轉化為直角坐標方程，然后畫出草圖；
（Ⅱ）直接利用圓心到直線的距離、半徑、半弦長滿足勾股定理，求出|AB|．

解答：解：（Ⅰ）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，得
曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ-2sinθ，即ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，
可化為直角坐標方程：x²+y²=2x-2y，（x-1）²+（y+1）²=2；
曲線l的極坐標方程是ρ（cosθ-2sinθ）=2．
可化為l的直角坐標方程：x-2y-2=0．------（5分）
（Ⅱ）設圓C的圓心C（1，-1）到直線l的距離為d，
則d=

|1-2(-1)-2|

5

=

5

5

，
所以|AB|=2

( 2 )2-( 5 5 )2

=

6 5

5

．----（10分）

點評：本題是中檔題，考查曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，點到直線的距離公式的應用，考查計算能力轉化思想．