Question

（2012•邯鄲一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的短軸長等于焦距，橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最短距離為

2

-1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)E（2，0）且斜率為k（k＞0）的直線l與C交于M、N兩點(diǎn)，P是點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，證明：N，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析：（I）由題可知：

2b=2c a-c= 2 -1 a2=b2+c2

，解方程可求a，b，進(jìn)而可求橢圓方程
（II）要證明P，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，只要證明

FN

∥

FP

即可

解答：解（I）由題可知：

2b=2c a-c= 2 -1 a2=b2+c2

  …（2分）
解得a=

2

，c=1，b=1
∴橢圓C的方程為C：

x2

2

+y2=1…（4分）
（II）設(shè)直線L：y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₁，-y₁），F(xiàn)（1，0），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0．…（6分）
所以x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

．…（8分）
而

FN

=(x2-1，y2)=（x₂-1，kx₂-2k），

FP

=(x1-1，-y1)=（x₁-1，-kx₁+2k），…（10分）
∵（x₁-1）（kx₂-2k）-（x₂-1）（-kx₁+2k）=k[2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4]
=k（

16k2-4

1+2k2

-

24k2

1+2k2

+4）=0
∴

FN

∥

FP

∴P，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線 …（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用及向量的共線與點(diǎn)共線的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用．