Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圓，求m的取值范圍；
（2）若（1）中的圓與直線x+2y-4=0相交于M，N兩點，且

OM

•

ON

=0（其中O為坐標原點）求m的值；
（3）在（2）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）將x²+y²-2x-4y+m=0轉化為：（x-1）²+（y-2）²=5-m，由方程表示圓，則有5-m＞0．
（2）

x+2y-4=0 x2+y2-2x-4y+m=0

先將直線與圓方程的聯立，由相交于兩點，則有△=（-16）²-4×5×（8+m）＞0，又

OM

•

ON

=0，得出x₁x₂+y₁y₂=0，由韋達定理求解．
（3）線段的中點為圓心，圓心到端點的距離為半徑，從而求得結論．

解答：解：（1）x²+y²-2x-4y+m=0即（x-1）²+（y-2）²=5-m（2分）
若此方程表示圓，則5-m＞0∴m＜5

（2）

x+2y-4=0 x2+y2-2x-4y+m=0

x=4-2y代入得5y²-16y+8+m=0
∵△=（-16）²-4×5×（8+m）＞0
∴m＜

24

5

y1+y2=

16

5

，y1y2=

8+m

5

∵

OM

•

ON

=0得出：x₁x₂+y₁y₂=0而x₁x₂=（4-2y₁）•（4-2y₂）=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂
∴5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0，∴m=

8

5

滿足m＜

24

5

故的m值為

8

5

．

（3）設圓心為（a，b），且O點為以MN為直徑的圓上的點x1+x2=(4-2y1)+(4-2y2)=8-2(y1+y2)=

8

5

a=

x1+x2

2

=

4

5

，b=

y1+y2

2

=

8

5

半徑r=

a2+b2

=

4 5

5

圓的方程(x-

4

5

)2+(y-

8

5

)2=

16

5

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系其其方程的應用，同時滲透了向量，是常考題型，屬中檔題．