Question

對于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得對任意的（）都有成立，那么就把這樣一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，以下簡稱周期。例如當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列，當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列。

       （1）設(shè)數(shù)列滿足（），（不同時(shí)為0），且數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，求常數(shù)的值；

       （2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．

①若，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；

②若，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；

       （3）設(shè)數(shù)列滿足（），，，，數(shù)列 的前項(xiàng)和為，試問是否存在，使對任意的都有成立，若存在，求出的取值范圍；不存在，    說明理由；

Answer 1

解：（1）由數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，

且，即， …………4分

（2）當(dāng)時(shí)，，又得．……………………………5分

當(dāng)時(shí)，，

即或．……………………………6分

①由有，則為等差數(shù)列，即，

由于對任意的都有，所以不是周期數(shù)列……………………………8分

②由有，數(shù)列為等比數(shù)列，即，

即對任意都成立，

即當(dāng)時(shí)是周期為2的周期數(shù)列。…………………………10分

（3）假設(shè)存在，滿足題設(shè)。

于是又則

所以是周期為3的周期數(shù)列，所以的前3項(xiàng)分別為，……………………12分

則，               ………………14分

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

綜上，                             ……………16分

為使恒成立，只要，即可，

綜上，假設(shè)存在，滿足題設(shè)，，。………………18分