Question

函數f（x），g（x）在區間[a，b]上都有意義，且在此區間上
①f（x）為增函數，f（x）＞0；
②g（x）為減函數，g（x）＜0．
判斷f（x）g（x）在[a，b]的單調性，并給出證明．

Answer 1

分析：令a≤x₁＜x₂≤b，由f（x）、g（x）的單調性可得f（x₁）與f（x₂）的大小，g（x₂）與g（x₁）的大小，通過作差可判斷
f（x₁）g（x₁）-f（x₂）g（x₂）的符號，由單調性的定義可得結論．

解答：解：減函數，
令a≤x₁＜x₂≤b，則有f（x₁）-f（x₂）＜0，即可得0＜f（x₁）＜f（x₂）；
同理有g（x₁）-g（x₂）＞0，即可得g（x₂）＜g（x₁）＜0；
從而有f（x₁）g（x₁）-f（x₂）g（x₂）
=f（x₁）g（x₁）-f（x₁）g（x₂）+f（x₁）g（x₂）-f（x₂）g（x₂）
=f（x₁）（g（x₁）-g（x₂））+（f（x₁）-f（x₂））g（x₂）（*），
顯然f（x₁）（g（x₁）-g（x₂））＞0，（f（x₁）-f（x₂））g（x₂）＞0，
從而（*）式＞0，
故函數f（x）g（x）為減函數．

點評：本題考查函數單調性的判斷及其證明，屬中檔題，定義是解決問題的基本方法，解答本題的關鍵是對f（x₁）g（x₁）-f（x₂）g（x₂）進行添加項作出恰當變形．