Question

四面體ABCD中，AB=BC==CD=DB，點A在面BCD上的射影恰是CD的中點，則對棱BC與AD所成的角等于（   ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

B. 

AB=BC=CD=DB.所以△BCD是等邊三角形。
△ABD與△ABC△ADC都是等腰三角形
因為E是A的投影，所以AE垂直于△BCD所在平面
因為△ADC經過AE
所以△ADC與△BCD所在的平面是相互垂直的兩個平面
這樣，由于AE垂直于BE，AB=BC=DB
△ABE與△ADE與△ACE是全等三角形
所以AE=DE=EC，所以△ADC是直角等腰三角形
現在過A做DC的平行線AF，并使DC與AF等長
連接CF，這樣CF與AD平行
所以AD與BC所形成的角度和CF與BC所形成的角度相等
連接B、C與AF中點G形成BG、CG
設AE長度為1，則AC=√2， AB=AC=2
因為G為AF中點，AG=GF=1
連接EG
因為BE垂直于EG
BE=√3，EG=√2，所以BG=√5
因為BC^2+CG^2=BG^2，所以在△BGC中∠BGC是直角
又因為AB^2+AG^2=BG^2，所以△ABG是直角三角形△ABF是等邊直角三角形
BF=2√2
這樣，在△BCF中，BC=2，CF=√2，BF=2√2
所以問題歸結為求CF與BC所形成的角度∠C的過程
已知三邊求一角的過程
由余弦定理知
BF^2= BC^2+CF^2-2BC*CF*cos∠C
求得角C為