Question

如圖，將圓分成n個區域，用3種不同顏色給每一個區域染色，要求相鄰區域顏色互異，把不同的染色方法種數記為a_n．求
（Ⅰ）a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）a_n與a_n+1（n≥2）的關系式；
（Ⅲ）數列{a_n}的通項公式a_n，并證明a_n≥2n（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接求出n=1時a₁，n=2時a₂，n=3時a₃，n=4時a₄；的值；
（Ⅱ）依次對扇形區域染色求出a_n然后說明它與a_n+1（n≥2）的關系式；
（Ⅲ）通過a_n與a_n+1（n≥2）的關系式；令n=1，2，3，4，…n時寫出關系式，利用累加法求出數列{a_n}的通項公式a_n，
要證明a_n≥2n（n∈N^*）需要已知n=1，n=2，n=3時成立，然后利用二項式定理證明表達式成立即可．．

解答：解：（Ⅰ） 當n=1時，不同的染色方法種數a₁=3，
當n=2時，不同的染色方法種數a₂=6，
當n=3時，不同的染色方法種數a₃=6，
當n=4時，分扇形區域1，3同色與異色兩種情形
∴不同的染色方法種數a₄=3×1×2×2+3×2×1×1=18．
（Ⅱ）依次對扇形區域1，2，3，…n，n+1染色，不同的染色方法種數為3×2ⁿ，其中扇形區域1與n+1不同色的有a_n+1種，扇形區域1與n+1同色的有a_n種
∴a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）
（Ⅲ）∵a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）
∴a₂+a3=3×2²
a₃+a₄=3×2³
…
a_n-1+a_n=3×2^n-1將上述n-2個等式兩邊分別乘以（-1）^k（k=2，3…n-1），再相加，得
a₂+（-1）^n-1a_n=3×2²-3×2³+…+3×（-1）^k×2^n-1=3×

22[1-(-2)n-1]

1-(-2)

，
∴a_n=2ⁿ+2•（-1）ⁿ從而an=

3               n=1 2n+2•(-1)n

n≥2．
（Ⅲ）證明：當n=1時，a₁=3＞2×1
當n=2時，a₂=6＞2×2，
當n≥3時，
a_n=2ⁿ+2•（-1）ⁿ=（1+1）ⁿ+2•（-1）ⁿ
=1+n+C₂ⁿ+C₃ⁿ+…+C_n-2ⁿ+n+1+2•（-1）ⁿ
≥2n+2+2（-1）ⁿ≥2n，
故a_n≥2n（n∈N^*）．

點評：本題是中檔題，考查排列組合的應用，數列與不等式的故選的應用，數列的求和的基本方法，二項式定理的應用，考查轉化思想，計算能力，難度較大．