Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數的單調遞減區間；

（2）若關于的不等式恒成立，求整數的最小值

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】試題分析：

（1）由可求得，求導后令解不等式可得單調遞減區間．（2）構造函數，則問題等價于在上恒成立．當時，求導可得在上單調遞增，又，故不滿足題意．當時，可得的最大值為，因為單調遞減，且， ，所以當時， ，從而可得整數的最小值為2．

試題解析：

（1）因為，

所以，

故，

所以 ，

由，解得，

所以的單調減區間為．

（2）令， ，

由題意可得在上恒成立．

又．

①當時，則．

所以在上單調遞增，

又因為，

所以關于的不等式不能恒成立．

②當時， ，

令，得．

所以當時， ，函數單調遞增；

當時， ，函數單調遞減．

故當時，函數取得極大值，也為最大值，且最大值為．

令，

則在上單調遞減，

因為， ．

所以當時， ，

所以整數的最小值為2．