Question

（2012•泉州模擬）已知向量

a

=（sin2x，cos2x），向量

b

=(

1

2

，-

3

2

)，f（x）=

a

•

b

，x∈[

π

6

，

7π

6

]．
（Ⅰ）試用“五點作圖法”作出函數y=f（x）的圖象；
（Ⅱ）（ⅰ） 若-1＜f（x）＜0，求x的取值范圍；
（ⅱ）若方程f（x）=a（-1＜a＜0）的兩根分別為x₁，x₂，試求sin（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析：向量表示錯誤，請給修改，謝謝．

解答：解：（Ⅰ）f（x）= 

a

•

b

═sin2x•

1

2

+cos2x•(-

3

2

)=sin(2x-

π

3

)．…（3分）
令X=2x-

π

3

，則X∈[0，2π]，x=

X+ π 3

2

．列表：

X	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	7π 6
y	0	1	0	-1	0

…（5分）
描點畫圖，即得函數y=f（x）的圖象，如圖所示．

…（7分）
（Ⅱ）（ⅰ）-1＜f（x）＜0即-1＜sin(2x-

π

3

)＜0，
∵0≤2x-

π

3

≤2π，∴π＜2x-

π

3

＜2π，且 2x-

π

3

≠

3π

2

∴x的取值范圍為(

2π

3

，

11π

12

)∪(

11π

12

，

7π

6

)．…（9分）
（ⅱ）∵x₁，x₂是方程f（x）=a（-1＜a＜0）的兩根，
∴x1，x2∈(

2π

3

，

11π

12

)∪(

11π

12

，

7π

6

)，
∵當x∈(

2π

3

，

11π

12

)∪(

11π

12

，

7π

6

)時，函數f（x）的圖象關于直線x=

11π

12

對稱，…（10分）
∴x1+x2=2×(

11π

12

)=

11π

6

，
∴sin(x1+x2)=sin

11π

6

=sin(-

π

6

)=-

1

2

．…（12分）

點評：本小題主要考查平面向量、三角函數等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．