Question

設函數(shù).
（Ⅰ）證明：當，；
（Ⅱ）設當時，，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；(Ⅱ) .

試題分析：（Ⅰ）當時，求導數(shù)，令，，求函數(shù)的單調區(qū)間與極值，再求最大值，從而判斷，當時，成立；(Ⅱ)由，注意到．再求，對實數(shù)分三種情況討論，①，②，③，分別求出當時，分別通過函數(shù)單調性，判斷函數(shù)的單調性，從而求得的的取值范圍，再求并集.
試題解析：（Ⅰ）當時，，則
令，得，當時，，所以在為增函數(shù)；
當時，，所以在為減函數(shù)．
所以，．
即當時，成立．                   4分
（Ⅱ）由，注意到．
設，則.
（ⅰ）當，時，，因此在為減函數(shù)，
即在為減函數(shù)，
所以在為減函數(shù)，與已知矛盾.
（ⅱ）當時，當時，
則在為減函數(shù)，此時得為減函數(shù)，
與已知矛盾.
（ⅲ）當時，當時，為增函數(shù). 
，所以在為增函數(shù)，
不等式成立.
綜上所述 ，的取值范圍是