Question

某廠根據市場需求開發折疊式小凳（如圖所示）. 凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細鋼管. 考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設計小凳應滿足：① 凳子高度為30cm，② 三根細鋼管相交處的節點O與凳面三角形ABC重心的連線垂直于凳面和地面.

   （1）若凳面是邊長為的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為，確定節點分細鋼管上下兩段的比值（精確到）；

   （2）若凳面是頂角為的等腰三角形，腰長為，節點分細鋼管上下兩段之比為. 確定三根細鋼管的長度（精確到）.

Answer 1

解：（1）設△的重心為，連結.

  

    由題意可得，.

設細鋼管上下兩段之比為.

    已知凳子高度為. 則.  

節點與凳面三角形重心的連線與地面垂直，且凳面與地面平行.

 就是與平面所成的角，亦即.

    ，    

    解得，.             

    即節點分細鋼管上下兩段的比值約為.

（2）設，.

     設△的重心為，則，

     由節點分細鋼管上下兩段之比為，可知.             

     設過點的細鋼管分別為，

     則 ，

        ，                

對應于A、B、C三點的三根細鋼管長度分別為60.8cm，36.1cm和60.8cm.