Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c，點P（1，f（1））在函數y=f（x）的圖象上，過P點的切線方程為y=3x+1
（1）若y=f（x）在x=-2時有極值，求f（x）的解析式；
（2）若函數y=f（x）在區間[-2，1]上單調遞增，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于函數f（x）=x³+ax²+bx+c在點P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1，所以f（1）=4，f′（1）=3，又因為y=f（x）在x=-2時有極值，所以f′（-2）=0，列三個方程解之即可
（2）由于函數f（x）=x³+ax²+bx+c在點P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1，所以 f′（1）=3，所以2a=-b，欲使函數y=f（x）在區間[-2，1]上單調遞增，只需f′（x）=3x²-bx+b≥0在區間[-2，1]上恒成立，轉化為b≥

3x2

x-1

在區間[-2，1]上恒成立，利用函數性質求此函數的最大值即可

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²⁺2ax+b
依題意

f′(1)=3 f(1)=4 f′(-2)=0

即

3+2a+b=3 1+a+b+c=4 14-4a+b=0

解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）∵函數f（x）=x³+ax²+bx+c在點P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1，
∴f′（1）=3，∴2a=-b
∴f′（x）=3x²-bx+b
依題意欲使函數y=f（x）在區間[-2，1]上單調遞增，只需f′（x）=3x²-bx+b≥0在區間[-2，1]上恒成立
即b≥

3x2

x-1

在區間[-2，1]上恒成立
∵

3x2

x-1

≤0
∴b≥0時，函數y=f（x）在區間[-2，1]上單調遞增

點評：本題考察了導數的幾何意義，利用導數求函數極值，利用導數解決已知函數單調性求參數范圍問題的方法，考查了轉化化歸的思想方法．