Question

已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；

(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝(3n－1)an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若不等式(－1)nλ＜Tn對(duì)一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

 

Answer 1

（1）（2）－1＜λ＜2

【解析】(1)由題知，＋1，

∴＋＝3，

∴＋＝·3n－1＝，∴an＝.

(2)由(1)知，bn＝(3n－1)·＝n· n－1，

Tn＝1×1＋2× 1＋3× 2＋…＋n· n－1，

Tn＝1×＋2× 2＋…＋(n－1) n－1＋n n，

兩式相減得，

Tn＝1＋＋＝2－，∴Tn＝4－.

∵Tn＋1－Tn＝＞0，

∴|Tn|為遞增數(shù)列．

①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，－λ＜Tn對(duì)一切正奇數(shù)成立，

∵(Tn)min＝T1＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1；

②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，λ＜Tn對(duì)一切正偶數(shù)成立，

∵(Tn)min＝T2＝2，∴λ＜2.

綜合①②知，－1＜λ＜2.