Question

【題目】已知函數f (x)＝ex＋2x2－3x.

(1)求證：函數f (x)在區間[0,1]上存在唯一的極值點．

(2)當x≥時，若關于x的不等式f (x)≥ x2＋(a－3)x＋1恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) .

【解析】分析：（1）先求f′（0）與f′（1），看兩值是否異號，然后證明f′（x）在[0，1]上單調性，即可證明函數f（x）在區間[0，1]上存在唯一的極值點；
（2）由題意得到ex-，x2-ax-1≥0，構造g（x）=ex-x2-ax-1，分類討論求出g（x）的最值，即可得到a的范圍．

詳解：(1)f ′(x)＝ex＋4x－3,

∵f ′(0)＝e0－3＝－2<0,f ′(1)＝e＋1>0,

∴f ′(0)·f ′(1)<0.

令h(x)＝f ′(x)＝ex＋4x－3,則h′(x)＝ex＋4>0,

∴f ′(x)在區間[0,1]上單調遞增,

∴f ′(x)在區間[0,1]上存在唯一零點,

∴f(x)在區間[0,1]上存在唯一的極小值點．

(2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1,得ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1,即ax≤ex－x2－1,

∵x≥,∴a≤

令g(x)＝,則g′(x)＝

令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1,則φ′(x)＝x(ex－1)．∵x≥,∴φ′(x)>0.

∴φ(x)在[,＋∞)上單調遞增．∴φ(x)≥φ()＝－>0.

因此g′(x)>0,故g(x)在[,＋∞)上單調遞增,

則g(x)≥g()＝＝2－,∴a的取值范圍是a≤2－.