Question

【題目】已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，且滿足（2b﹣a）cosC=ccosA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）設y=﹣4 sin2 +2sin（C﹣B），求y的最大值并判斷當y取得最大值時△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】解：（I）∵（2b﹣a）cosC=ccosA，

由正弦定理可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，

化為：2sinBcosC=sin（C+A）=sinB，

∵sinB≠0，∴cosC= ，

∵C∈（0，π），∴C= ．

（II）y=﹣4 sin2 +2sin（C﹣B）= （1﹣cosA）+2sin =sinA+ cosA﹣2 =2 ﹣2 ，

∵A∈ ，∴ ∈ ，

∴當A+ = ，即A= 時，y確定最大值2﹣2 ，此時B= ，

因此△ABC為直角三角形

【解析】（I）由（2b﹣a）cosC=ccosA，由正弦定理可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用和差關系化簡可得：cosC= ，即可得出C．

（II）利用倍角公式、和差公式可得：y=2 ﹣2 ，再利用三角函數的單調性及其最值可得A，再利用三角形內角和定理即可得出．

【考點精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．