Question

已知函數f（x）=x³+ax²-2x-3．
（1）若函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，求實數a的值；
（2）是否存在實數a，使得f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是單調遞增函數？若存在，試求出a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：解：（1）因為函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，所以函數在x=1時取得極小值，所以當x=1時，導數等于0，即可求出a的值．
（2）先判斷函數f'（x）=3x²+2ax-2有兩個零點，且為異號，要使f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是單調遞增函數，則f'（x）≥0在(

1

3

，

1

2

)恒成立，數形結合可知需

f′( 1 3 )＞0 f′( 1 2 )＞0

，解不等式即可得出a的范圍

解答：解：（1）由已知有f′（x）=3x²+2ax-2，f'（1）=0，∴a=-

1

2

（2）令f'（x）=3x²+2ax-2=0，∵△=4a²+24＞0，∴方程有兩個不等實根，分別記為x₁，x₂，又x1x2=-

2

3

＜0
所以在(

1

3

，

1

2

)內方程f'（x）=3x²+2ax-2=0不可能有兩個解
故要使得f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是單調遞增函數的充要條件是

f′( 1 3 )＞0 f′( 1 2 )＞0

，解得a＞

5

2

所以存在實數a＞

5

2

，使得f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是單調遞增函數

點評：本題考查了函數單調性與導數的關系，解題時要牢記函數在區間上單調的充要條件，避免丟解現象發生