Question

已知關于x的不等式

ax2

ax-1

-x＞0．
（1）當a=-1時，解此不等式；
（2）對a∈R，解此不等式．

Answer 1

分析：（1）當a=-1時，此不等式即

-x2

-x-1

-x＞0，即

-x

x+1

＞0，即x（x+1）＜0．解此一元二次不等式，求得原不等式的解集．
（2）對a∈R，由題意可得

x

ax-1

＞0．分當a＜0時、當a＞0時、當a=0時三種情況，分別求得不等式的解集．

解答：解：（1）當a=-1時，此不等式即

-x2

-x-1

-x＞0，即

-x

x+1

＞0，即

x

x+1

＜0，即x（x+1）＜0．
解得-1＜x＜0，故此時不等式的解集為（-1，0）．
（2）對a∈R，由關于x的不等式

ax2

ax-1

-x＞0，可得

x

ax-1

＞0．
當a＜0時，不等式即 x（ax-1）＞0，解得

1

a

＜x＜0，解集為{x|

1

a

＜x＜0}．
當a＞0時，不等式即 x（ax-1）＞0，解得x＞

1

a

，或 x＜0，解集為{x|

1

a

＜x，或 x＜0}．
當a=0時，不等式即0-x＞0，解得 x＜0，解集為{x|x＜0}．

點評：本題主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，體現了分類討論及轉化的數學思想，屬于中檔題．