Question

（2012•湖北模擬）已知函數

a

=(cos2x，-1)，

b

=(1，cos(2x-

π

3

))，設f(x)=

a

•

b

+1．
（1）求函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（2）設x為三角形的內角，且函數y=2f（x）+k恰有兩個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（x）的解析式，可得周期，由整體法可得單調區間；（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x-

π

6

），原問題可轉化為方程sin（2x-

π

6

）=1+

k

2

在區間（0，π）上恰有兩根，可得不等式-1＜1+

k

2

＜1且1+

k

2

≠-

1

2

，解之即可．

解答：解：（1）由題意可得f（x）=

a

•

b

+1=cos2x-cos（2x-

π

3

）+1
=cos2x-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1
=1-sin（2x-

π

6

），所以其最小正周期為π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
故函數的單調遞減區間為：（kπ-

π

6

，kπ+

π

3

），k∈Z，
（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x-

π

6

）
因為x為三角形的內角，且函數y=2f（x）+k恰有兩個零點，
即方程sin（2x-

π

6

）=1+

k

2

在區間（0，π）上恰有兩根，
∴-1＜1+

k

2

＜1且1+

k

2

≠-

1

2

，
解得-4＜k＜0，且k≠-3

點評：本題為三角函數與向量的結合，涉及三角函數的周期單調性和函數的零點，屬中檔題．