Question

【題目】函數f（x）=x3+sinx+2x的定義域為R，數列{an}是公差為d的等差數列，且a1+a2+a3+a4+…a2015＜0，記m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…f（a2015），關于實數m，下列說法正確的是（　　）
A.m恒為負數
B.m恒為正數
C.當d＞0時，m恒為正數；當d＜0時，m恒為負數
D.當d＞0時，m恒為負數；當d＜0時，m恒為正數

Answer 1

【答案】A
【解析】∵函數f（x）=x3+2x+sinx的定義域為R、是奇函數，
且它的導數f′（x）=x2+1+cosx≥0，故函數f（x）在R上是增函數．
因為數列{an}是公差為d的等差數列，分3種情況討論：
①當d＞0時，數列為遞增數列，由a1+a2015＜0，
可得 a2015＜﹣a1 ， ∴f（a2015）＜f（﹣a1）=﹣f（a1），∴2f（a1008）=f（a1）+f（a2015）＜0．
同理可得，f（a2）+f（a2014）＜0，f（a3）+f（a2013）＜0，…
故 m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2012）+f（a2014）
=f（a1）+f（a2015）+f（a2）+f（a2014）+f（a3）+f（a2013）+…+f（a1008）＜0．
②當d＜0時，數列為遞減數列，同理求得 m＜0．
③當d=0時，該數列為常數數列，每一項都小于，故有f（an）＜0，
綜上，有m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2014）+f（a2015）＜0，
故選A．
【考點精析】掌握函數奇偶性的性質和函數的值是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法．