Question

已知函數(shù)，其中a為正實(shí)數(shù)，是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）在[b，+∞）上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，x=是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，由f′（）=0即可求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=，令f′（x）=0，可求得極值點(diǎn)，通過(guò)對(duì)f（x）與f′（x）的變化情況列表，可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間，再對(duì)b分＜b＜與b≥兩類(lèi)討論即可求得函數(shù)f（x）在[b，+∞）上的最小值．
解答：解：f′（x）=，
（Ⅰ）因?yàn)閤=是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
所以f′（）=0，
因此，a-a+1=0，
解得a=，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=時(shí)，x=是y=f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，故所求a的值為．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=，
令f′（x）=0，得x₁=，x₂=，
f（x）與f′（x）的變化情況如下：

x	（-∞，）		（，）		（，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，），（，+∞）．單調(diào)遞減區(qū)間是（，）．
當(dāng)＜b＜時(shí)，f（x）在[b，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[b，+∞）上的最小值為f（）=，
當(dāng)b≥時(shí)，f（x）在[b，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[b，+∞）上的最小值為f（b）==．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，突出分類(lèi)討論思想與方程思想的考查，屬于中檔題．